Question

抛物线y²=2px（p＞0）的一条弦AB过焦点F，且|AF|=1，|BF|=

1

3

，则抛物线方程为

 

．

Answer 1

分析：设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|求得x₁+x₂的表达式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，则抛物线方程可得．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，则|AF|+|BF|=x1+x2+p=

4

3

，
∴x1+x2=

4

3

-p，而x1•x2=

p2

4

．
由|AF|•|BF|=x1•x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=

1

3

．
得

p2

2

+

p

2

•(

4

3

-p)=

1

3

，即

2p

3

=

1

3

，
∴p=

1

2

，
∴抛物线方程为y²=x．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．对于抛物线的焦点弦问题常借助抛物线的定义来解决．