Question

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）求第六组、第七组的频率．
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x-y|≤5的事件概率．

Answer 1

分析：（1）由直方图求出前五组的频率，进一步得到后三组的频率，然后求出后三组的人数和，再由第八组的频率求出第八组的人数，设出第六组的人数m，得到第七组的人数，由等差中项的概念得到关于m的等式，继而求出m，则第六组、第七组的频率可求；
（2）分别求出身高在[180，185）内和在[190，195）的人数，标号后利用列举法写出从中随机抽取两名男生的所有情况，查出满足|x-y|≤5的事件个数，然后利用古典概型概率计算公式求解．

解答：解：（1）由直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9（人），
由直方图得第八组频率为：0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2（人），
设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列，
∴m+2=2（7-m），∴m=4．
∴第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别等于

4

50

=0.08，

3

50

=0.06．
（2）由（1）知身高在[180，185）内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195）的人数为2人，设为A，B．
若x，y∈[180，185）时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．
若x，y∈[190，195）时，有AB共一种情况．
若x，y分别在[180，185）和[190，195）内时，
有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，
∴基本事件总数为6+8+1=15种，
事件|x-y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种．
∴P（|x-y|≤5）=

7

15

．

点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，考查了学生的读图能力，是基础题．