Question

22.已知复数z₀＝l－mi（m>0），z=x+yi和w=x′+y′i.其中x，y，x′,y′均为实数.i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=·，.

（1）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；

（2）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.

当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.

（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在c 该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

Answer 1

22.解：

（1）由题设，｜w｜=｜｜=｜z₀｜｜z｜=2｜z｜，

∴｜z₀｜=2，

于是由1+m²=4，且m>0，得m=.　　　　　　　　　　

因此由，

得关系式　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（2）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（，）满足

　　　　　　　　　　　　　　　  

消去x，得，

故点Q的轨迹方程为.　　　　　　

 

（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0）.　　　　　　　　　　　

解法一：∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x+，）仍在该直线上，

∴，

即－（）y=（k－）x+b.　　　　　　　　　　

当b≠0时，方程组无解，

故这样的直线不存在.　　　　　　　　　　　　　　　　

当b=0时，由，

得，

解得或，

故这样的直线存在，其方程为y=.　　　

解法二：取直线上一点P（），其经变换后的点Q（）仍在该直线上，

∴，

得b=0，　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故所求直线为y=kx，取直线上一点P（1，k），其经变换后得到的点Q（1+，）仍在该直线上，

∴，　 　　　　　　　　　　　　　

即，

得或，

故这样的直线存在，其方程为y＝或y=.