Question

已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），若数列{a_n}满足a1=1，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)(n≥2，n∈N*)
（1）求证：数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3．

Answer 1

分析：（1）由{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），知b_n+1-2b_n=3（b_n-2b_n-1），故{b_n+1-2b_n}成等比数列，由此能求出bn=3n-2n．
（2）由an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)，n∈N^*，推导出

an+1

an+1

=

bn

bn+1

，从而得到（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）=（

a1+1

a1

）（

a2+1

a2

）（

a3+1

a3

）…（

an+1

an

）=

n

k=1

1

3k-2k

，n∈Z^*．由此能够证明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3．

解答：解：（1）∵{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），
∴b_n+1-2b_n=3（b_n-2b_n-1），故{b_n+1-2b_n}成等比数列，
∴b_n+1-2b_n=3^n-1（b₂-b₁）=3ⁿ，
∴bn+1=2bn+3n，
∴bn+1-3n+1=2（bn-3n），
∴b_n-3ⁿ=2^n-1（b₁-3）=-2ⁿ，
∴bn=3n-2n．
（2）an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)，n∈N^*，
∴a_n+1=bn•(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)+1=b_n（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

），
∴

an+1

an+1

=

bn•( 1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn-1 + 1 bn )

bn+1•( 1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn-1 + 1 bn )

=

bn

bn+1

，
∴（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）=（

a1+1

a1

）（

a2+1

a2

）（

a3+1

a3

）…（

an+1

an

）
=

1

a1

•（

a1+1

a2

）•（

a2+1

a3

）…（

an-1+1

an

）•（a_n+1）
=

1

a1

•

b1

b2

•

b2

b3

•

b3

b4

…

bn-1

bn

•bn•（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）
=

b1

a1

(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

)
=

n

k=1

1

3k-2k

，n∈Z^*．
∵1-（

2

3

）^k≥

1

3•2k-1

，不等式左侧单调递增，右侧单调递减，当且仅当k=1时等式成立，
∴3^k-2^k≥（

3

2

）^k-1，
∴

1

3k-2k

≤（

2

3

）^k-1，
∴

n

k=1

1

3k-2k

≤

n

k=1

(

2

3

)k-1=

1

1- 2 3

=3，
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．