Question

4．已知（2x+$\frac{a}{x}$）⁵的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含$\frac{1}{{x}^{3}}$项系数为（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -10
• D． 10

Answer 1

分析 根据题意，先求出a的值，再利用展开式的通项公式求出对应项的系数．

解答 解：∵（2x+$\frac{a}{x}$）⁵的展开式中各项系数之和为1，
∴令x=1，则（2+a）⁵=1，
解得a=-1；
∴${（2x+\frac{-1}{x}）}^{5}$的展开式中通项公式为
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（2x）^5-r•${（\frac{-1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•2^5-r•${C}_{5}^{r}$•x^5-2r，
令5-2r=-3，解得r=4；
∴该二项式展开式中含$\frac{1}{{x}^{3}}$项的系数为
（-1）⁴•2^5-4•${C}_{5}^{4}$=10．
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑思维能力与计算能力的应用问题，是基础题目．