Question

17．已知函数f（x）的定义域为R，且$\frac{f'（x）}{2}-f（x）＞2$，若f（0）=-1，则$\frac{f（x）+2}{{{e^{2x}}}}＞1$不等式的解集是（0，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，推出g（0）=1，判断g（x）在R上是单调增函数，转化求解不等式即可．

解答 解：f（0）=-1，令g（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，则g（0）=1，又g′（x）=$\frac{f′（x）-2f（x）-4}{{e}^{2x}}$，
由已知$\frac{f'（x）}{2}-f（x）＞2$，可得g′（x）＞0，则g（x）在R上是单调增函数，g（0）=1，
所以$\frac{f（x）+2}{{{e^{2x}}}}＞1$不等式的解集是（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查导数的应用，不等式的求法，考查转化思想以及计算能力．