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z1是虚数,z2=z1+
1
z1
是实数,且-1≤z2≤1

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围;
(2)若ω=
1-z1
1+z1
,求证:ω为纯虚数.
分析:(1)设出复数,根据两个复数之间的关系,写出z2的表示式,根据这是一个实数,得到这个复数,根据条件中所给的取值范围,得到要求的a的取值.
(2)根据上一问设出的复数,表示出ω,进行复数除法的运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理变化,得到最简形式,得到这是一个纯虚数.
解答:解:(1)设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0),
z2=z1+
1
z1
=a+bi+
1
a+bi
=(a+
a
a2+b2
)+(b-
b
a2+b2
)i

∵z2是实数,b≠0,
∴有a2+b2=1,即|z1|=1,
∴可得z2=2a,
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,
解得-
1
2
≤a≤
1
2

即z1的实部的取值范围是[-
1
2
1
2
]

(2)ω=
1-z1
1+z1
=
1-a-bi
1+a+bi
=
1-a2-b2-2bi
(1+a)2+b2
=-
b
a+1
i

∵a∈[-
1
2
1
2
]
,b≠0,
∴ω为纯虚数.
点评:本题考查复数的加减乘除运算,是一个综合题,解题时的运算量比较大,又用到复数的有关概念,注意解题时的格式.
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设z1是虚数,z2=z1+
1
z1
是实数,且-1≤z2≤1,则z1的实部取值范围是(  )

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1
z1
是实数,且-1≤z2≤1,则z1的实部取值范围是(  )
A.[-1,1]B.[-
1
2
1
2
]
C.[-2,2]D.[-
1
2
,0)∪(0,
1
2
]

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z1是虚数,z2=z1+
1
z1
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(2)若ω=
1-z1
1+z1
,求证:ω为纯虚数.

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A.[-1,1]
B.
C.[-2,2]
D.

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