Question

某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地，市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别表示自西向东，自南向北的两条主干道．设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道，小道为抛物线y=x²的一段，在小道上依次以点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥10，n∈N*)为圆心，修一系列圆型小道，这些圆型小道与主干道Ox相切，且任意相邻的两圆彼此外切，若x₁=1（单位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）记以P_n为圆心的圆与主干道Ox切于A_n点，证明：数列{

1

xn

}是等差数列，并求|OA_n|关于n的表达式；
（2）记⊙P_n的面积为S_n，根据以往施工经验可知，面积为S的圆型小道的施工工时为

πS

（单位：周）．试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）依题意可设⊙p_n的半径rn=yn=xn2，由题意可得|p_np_n+1|=r_n+r_n+1，代入点的坐标整理可得

1

xn+1

-

1

xn

=2，结合等差数列的通项公式可求

1

xn

，进而可求x_n，即可求解
（2）由sn=πrn2=πxn4=

π

(2n-1)4

，代入T_n=

πs1

+

πs2

+…+

πsn

=π[

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

]，利用放缩法及裂项即可求解和，可求

解答：解：（1）依题意可设⊙p_n的半径rn=yn=xn2
∵⊙p_n与⊙p_n+1相切
∴|p_np_n+1|=r_n+r_n+1
∴

(xn-xn+1)2

+

(yn-yn+1)2

=y_n+y_n+1
两边平方整理可得，(xn-xn+1)2=4xn2xn+12
∵x_n＞x_n+1＞0
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴{

1

xn

}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴

1

xn

=1+2(n-1)=2n-1
∴xn=

1

2n-1

即|OAn|=

1

2n-1

（2）∵sn=πrn2=πxn4=

π

(2n-1)4

设前几个圆型小道的施工总时为T_n=

πs1

+

πs2

+…+

πsn

=π[

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

]
＜π[1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

]
=π[1+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

]

=π[1+

1

2

(1-

1

2n-1

)]=

3n-2

2n-1

π＜

3π

2

＜5
故5周内完成修建工作

点评：本题主要考查了圆外切性质的应用，利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，数列的裂项求和及放缩法在不等式中的应用