Question

已知函数f（x）=

1

ex+1

+a
（Ⅰ）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
若f（x）是奇函数，
则f（0）=0，
即f（0）=

1

e0+1

+a=

1

2

+a=0．
解得a=-

1

2

．
（2）当a=-

1

2

时，f（x）=

1

ex+1

-

1

2

，则函数f（x）为减函数，
证明：任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

ex1+1

-

1

2

-(

1

ex2+1

-

1

2

)=

ex2-ex1

(ex1+1)(ex2+1)

∵x₁＜x₂，
∴ex1＜ex2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．