Question

设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂，如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m、n的值．

Answer 1

分析：设二次函数y=x²+（3-mt）x-3m的图象与x轴的两个交点分别为（x₁，0），（x₂，0），二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点分别为（x₃，0），（x₄，0），则d₁=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(mt-3)2+12mt

，d2=|x3-x4|  =

(x3+x4)2-4x3x4

=

(n-2t)2+8nt

．由d₁≥d₂对一切实数t恒成立，知（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0对一切实数t恒成立，由此能求出m、n的值．

解答：解：设二次函数y=x²+（3-mt）x-3m的图象与x轴的两个交点分别为（x₁，0），（x₂，0），
二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点分别为（x₃，0），（x₄，0），
则d₁=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(mt-3)2+12mt

，
d2=|x3-x4|  =

(x3+x4)2-4x3x4

=

(n-2t)2+8nt

．
∵d₁≥d₂对一切实数t恒成立，
∴（mt-3）²+12mt≥（n-2t）²+8nt对一切实数t恒成立，
即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0对一切实数t恒成立，
∴

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

，
∴

m2＞4 (mn-6)2≤0

，
又∵m、n为正整数，
∴m=3，n=2或m=6，n=1．…（14分）

点评：本题考查函数的恒成立问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．