Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数K，已知函数f_K（x）=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，取函数f（x）=3-x-e^-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K=f（x），则K的最小值为

 

．

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：函数的性质及应用

分析：求导数f′（x）=-1+e^-x=

1-ex

ex

，判断单调性，求极值，得出最值，把不等式的恒成立问题，转化为函数的最值求解．

解答： 解：根据题意可得：f（x）≤k恒成立，
∵函数f（x）=3-x-e^-x，
∴3-x-e^-x≤k，
∵f′（x）=-1+e^-x=

1-ex

ex

∴f′（x）=

1-ex

ex

=0，e^x=1，x=0，
f′（x）=

1-ex

ex

＞0，e^x＜1，x＜0，
f′（x）=

1-ex

ex

＜0，e^x＞1，x＞0，
∴函数f（x）=3-x-e^-x在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
当x=0时，f（x）的最大值为f（0），
f（0）=3-0-1=2，
f（x）≤2，
所以3-x-e^-x≤k，恒成立，则k的最小值为2．
故答案为：2

点评：本题综合考查了导数在函数求解最值中的应用，运用不等式的恒成立问题，转化为函数的最值求解，属于中等题．