Question

8．已知函数$f（x）=ln（{1+x}）-x，g（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x+2}（{a∈R}）$．
（1）求函数f（x）的单调区间及最值；
（2）若对?x＞0，f（x）+g（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}＜ln（{n+1}）（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）问题转化为a＞（x+2）[1-ln（1+x）]，令h（x）=（x+2）[1-ln（1+x）]，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）当a=2，x＞0时，得：$ln（{1+x}）＞\frac{x}{x+2}（*）$，令$x=\frac{1}{k}（{k∈{N^*}}）$，得：$ln\frac{k+1}{k}＞\frac{1}{2k+1}$，依次令k=1，2，3，…n，累加即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为$（{-1，+∞}），f'（x）=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}．f'（x）＞0?-1＜x＜0；f'（x）＜0?x＞0$，
所以函数f（x）的增区间为（-1，0），减区间为（0，+∞），
f（x）_max=f（0）=0，无最小值．
（2）$?x＞0，f（x）+g（x）＞1??x＞0，ln（{1+x}）-x+\frac{{{x^2}+2x+a}}{x+2}＞1$
$??x＞0，ln（{1+x}）+\frac{a}{x+2}＞1??x＞0，a＞（{x+2}）[{1-ln（{1+x}）}]$，
令h（x）=（x+2）[1-ln（1+x）]．
则$h'（x）=1-ln（{1+x}）-\frac{x+2}{x+1}=-ln（{1+x}）-\frac{1}{x+1}$．
当x＞0时，显然$h'（x）=-ln（{1+x}）-\frac{1}{x+1}＜0$，
所以h（x）在（0，+∞）上是减函数．
所以当x＞0时，h（x）＜h（0）=2．
所以，a的取值范围为[2，+∞）．
（3）由（2）知，当a=2，x＞0时，$ln（{1+x}）+\frac{2}{x+2}＞1$，即$ln（{1+x}）＞\frac{x}{x+2}（*）$．
在（*）式中，令$x=\frac{1}{k}（{k∈{N^*}}）$，得$ln\frac{k+1}{k}＞\frac{{\frac{1}{k}}}{{2+\frac{1}{k}}}$，即$ln\frac{k+1}{k}＞\frac{1}{2k+1}$，
依次令k=1，2，3，…n，
得$ln\frac{2}{1}＞\frac{1}{3}，ln\frac{3}{2}＞\frac{1}{5}，ln\frac{4}{3}＞\frac{1}{7}，…，ln\frac{n+1}{n}＞\frac{1}{2n+1}$．
将这n个式子左右两边分别相加，
得$ln（{n+1}）＞\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第3问难度比较大，是一道综合题．