Question

（2009•卢湾区二模）关于函数f(x)=(2x-

1

2x

)•x

1

3

和实数m、n的下列结论中正确的是（　　）

A．若-3≤m＜n，则f（m）＜f（n）

B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）

C．若f（m）＜f（n），则m²＜n²

D．若f（m）＜f（n），则m³＜n³

Answer 1

分析：观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项

解答：解：∵f(-x)=(2-x-

1

2-x

)•(-x)

1

3

=(2x-

1

2x

)•x

1

3

=f(x)
∴函数是一个偶函数
又x＞0时，2x-

1

2x

与x

1

3

是增函数，且函数值为正，故函数f(x)=(2x-

1

2x

)•x

1

3

在（0，+∞）上是一个增函数
由偶函数的性质知，函数在（-∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立
考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m²＜n²；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m³＜n³，不成立
综上知，C选项是正确的
故选C

点评：本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题