Question

如图1是正方形ABCD与顶角为120 °的等腰△ABE组成的一个平面图形，其中AE＝AB＝4，翻折正方形所在平面ABCD使得与平面AEB垂直（如图2），F为线段EA的中点．
（1）若H是线段BD上的中点，求证：FH // 平面CDE；
（2）若H是线段BD上的一个动点，设直线FH与平面ABCD所成角的大小为θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

证明: （1）连结AC，H是线段AC的中点，
又F为线段EA的中点，
所以FH // CE，
又FH不在平面CDE内，CE平面CDE，
所以FH // 平面CDE.
（2）在平面ABE内，过F作AB的垂线交AB于M，连结MH，
平面ABCD⊥平面AEB，FM⊥AB，
所以FM⊥平面ABCD，
∠FHM就是直线FH与平面ABCD所成的角θ， ；
过H作AB的垂线交AB于N，设，，
则，，，
所以
当时，取得最大值，有最小值，
又， 得.
所以tanθ的最小值是.