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已知f(x)=x2+2x,数列{an}满足a1=3,an+1=f′(an)-n-1,数列{bn}满足b1=2,bn+1=f(bn).
(1)求证:数列{an-n}为等比数列;
(2)令cn=
1
an-n-1
,求证:c2+c3+…+cn
2
3

(3)求证:
1
3
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
1
2
分析:(1)先求出函数f(x)的导函数,代入an+1=f′(an)-n-1可得an+1与an的关系,设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y)进而可得方程组
2x-x=-1
2y-y-x=1
解得x和y,代入an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),可得an+1-(n+1)=2(an-n),进而可证明数列{an-n}为等比数列.
(2)把(1)中求得的an代入Cn,可得Cn=
1
2n-1
=
2n+1-1
2n
[
1
2n-1
-
1
2n+1-1
]
,根据
2n+1-1
2n
=2-
1
2n
<2可知Cn<2[
1
2n-1
-
1
2n+1-1
]
,进而可知C2+C3++Cn2(
1
3
-
1
2n+1-1
)
,原式得证.
(3)把bn代入bn+1=f(bn).可得bn+1+1=(bn+1)2,两边求对数化简得
1
bn+1
=(
1
3
)
2n-1
(
1
3
)
n
,进而根据等比数列的求和公式可推断
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
1-(
1
3
)
n-1
2
<2,又
1
b1+1
+
1
b2+1
++
1
bn+1
1
b1+1
=
1
3
进而可证明原式.
解答:解:(1)f'(x)=2x+2?an+1=2an+2-n-1?an+1=2an-n+1
设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y)?
2x-x=-1
2y-y-x=1
?
x=-1
y=0

?an+1-(n+1)=2(an-n),
∴数列{an-n}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴an=2n+n(n∈N*).
(2)Cn=
1
2n-1
=
2n+1-1
2n
[
1
2n-1
-
1
2n+1-1
]<2[
1
2n-1
-
1
2n+1-1
]

C2+C3++Cn<2[
1
22-1
-
1
23-1
+
1
23-1
-
1
24-1
++
1
2n-1
-
1
2n+1-1
]

=2(
1
3
-
1
2n+1-1
)<
2
3

(3)bn+1=bn2+2bn?bn+1+1=(bn+1)2?log3(bn+1+1)=2log3(bn+1)
?
1
bn+1
=(
1
3
)2n-1?
1
bn+1
≤(
1
3
)n
?
1
b1+1
+
1
b2+1
+
1
bn+1
1
2

又∵
1
b1+1
+
1
b2+1
++
1
bn+1
1
b1+1
=
1
3

∴原式得证.
点评:本题主要考查数列等比关系的确定.等比数列常与幂函数、对数函数、不等式一块考查,应注意联系这些函数的性质.
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1
2
.
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1
2
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2
)
=
 
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)
]=
 

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16
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