Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=m$\overrightarrow{a}$-6$\overrightarrow{b}$（m∈R）．若$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$，|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|=5$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 根据向量平行的性质求出m，然后确定$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$用$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示，平方后展开，用向量的模以及数量积表示即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{d}$，∴存在惟一实数λ使得$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{d}$，即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（m$\overrightarrow{a}$-6$\overrightarrow{b}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=λm}\\{1=-6λ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{6}}\\{m=-6}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{d}$=-6$\overrightarrow{a}$-6$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$=-5$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$，
∴|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|²=|-5$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$|²=25${\overrightarrow{a}}^{2}$+50$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+25${\overrightarrow{b}}^{2}$=25（9+2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cos60°+4）=25×19，
∴|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{25×19}=5\sqrt{19}$；
故答案为：5$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了平面向量的平行的性质以及利用数量积求向量的模；一般的，没有坐标表示的向量求模，要先求其平方，在开方求值．