Question

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g(x)=

1

x+1

+af(x)，(a≠0)，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

又f（0）=-2∴ln1+m-2×

1

2

=-2
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得g(x)=

1

x+1

+a[ln(x+1)-2]
定义域为（-1，+∞），
∴g′(x)=-

1

(x+1)2

+

a

x+1

=

ax+a-1

(x+1)2

．
∵a≠0
令g'（x）=0得x=

1-a

a

=-1+

1

a

①当a＞0时-1+

1

a

∈(-1，+∞)，且在区间(-1+

1

a

，+∞)上g，（x）＞0，
在区(-1，-1+

1

a

)上g′（x）＜0．
∴g(x)在x=-1+

1

a

处取得极小值，也是最小值．
∴g(x)=g(-1+

1

a

)=a-a(ln a+2)
由a+a（-lna-2）＞0得a＜

1

e

．∴0＜a＜

1

e

．
②当a＜0时-1+

1

a

∉(-1，+∞)，
在区间（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在区间（-1，+∞）上单调递减，没有最值
综上得，a的取值范围是0＜a＜

1

e

．