Question

已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有几条？将题目中的30°改为10°、25°、65°、80°、90°，情况又如何呢？变为0°＜≤90°时呢？

Answer 1

答案：
解析：

答案：符合题意的直线有且仅有2条．10°时：0条；25°时：有且只有1条；65°时：有且只有3条；80°时：有且只有4条；90°时：有且只有1条． 　　当0°＜＜25°时，0条；当＝25°时，有且只有1条；当25°＜＜65°时，有且只有2条；当＝65°时，有且只有3条；当65°＜＜90°时，有且只有4条；当＝90°时，有且只有1条． 　　思路解析：过点P作直线∥a，∥b，则、相交．设、确定的平面为α， 　　(1)若过点P的直线l在α内，则l必为平分线，此时与、成25°角或65°角，从而与a、b成25°角或65°角，不合题意． 　　(2)对于、所成的50°角，设过这个角的平分线且与α垂直的平面为β．在β内，当过点P的直线从这个角平分线的位置向α的垂线位置运动的过程中，该直线与、所成的角相等且从25°逐渐增加到90°，从而必有一位置等于30°，这样的直线在β内有两条，它们关于α对称． 　　(3)对于、所成的130°角，角平分线与、成65°角，从而过点P以这个角平分线为射影的直线不能与、成50°角． 　　综上，知符合题意的直线有且仅有2条．