Question

在数列{a_n}中，a1=

2

3

，若函数f（x）=x³+1在点（1，f（1））处切线过点（a_n+1，a_n）．
（1）求证：数列{an-

1

2

}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式S_n．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义求出切线方程，从而得到a_n+1与a_n的关系，并利用待定系数法整体构造等比数列_；
（2）利用（1）求出数列{an-

1

2

}的通项公式，继而得到数列{a_n}的通项公式，观察通项特征，选择求和方法．

解答：解：（1）因为f^′（x）=3x²，所以切线的斜率为k=3，切点（1，2），
切线方程为y-2=3（x-1）即3x-y-1=0…2分
又因为过点（a_n+1，a_n），所以3a_n+1-a_n-1=0，
即3a_n+1=a_n+1①…4分
所以3an+1-

3

2

=an-

1

2

即3(an+1-

1

2

)  =an-

1

2

即

an+1- 1 2

an- 1 2

=

1

3

，
即数列{an-

1

2

}为一等比数列，公比为q=

1

3

…6分
（2）由（1）得{an-

1

2

}为一公比为q=

1

3

，a1-

1

2

=

2

3

-

1

2

=

1

6

的等比数列．
则an-

1

2

=

1

6

•(

1

3

)n-1，∴an=

1

2

•(

1

3

)n+

1

2

，…10分
Sn=

1

2

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)   +

n

2

=

1- 1 3n

4

+

n

2

=

3n-1

4•3n

+

n

2

…12分

点评：本题综合考查了函数与数列问题，对形如a_n+1=pa_n+q的整体构造和不同性质数列分组求和是本题解决的关键．