Question

已知直线l₁：y=x和直线l₂：y=-x，动点M到x轴的距离小于到y轴的距离，且M到l₁，l₂的距离之积为常数4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线L与曲线C交与P、Q，若，求直线L的方程．

Answer 1

解：（1）由题意且|x|＞|y|，
∴x²-y²=8 …（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易知直线倾斜角不为0，可设直线L方程为 x=ty+3
代入双曲线方程得：（t²-1）y²+6ty+1=0，△＞0
， （1）
又 则y₁=-2y₂ （2）
联立（1）（2）得：
所以直线L方程为： …（12分）
分析：（1）利用动点M到x轴的距离小于到y轴的距离，且M到l₁，l₂的距离之积为常数4，可得方程且|x|＞|y|，化简即可得；
（2）将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及，即可求直线方程．
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要轨迹方程的求解，考查直线与双曲线的位置关系，关键是联立方程，利用韦达定理求解．