Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．

（1）求证：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，

∴DE⊥平面A1CD，

又∵A1C平面A1CD，∴A1C⊥DE

又A1C⊥CD，CD∩DE=D

∴A1C⊥平面BCDE

（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2 ），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）

∴ ，

设平面A1BE法向量为

则 ∴ ∴

∴

又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）

∴

∴CM与平面A1BE所成角的大小45°

（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]

∴ ，

设平面A1DP法向量为

则 ∴

∴

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，

∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2

∵0≤a≤3

∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直

【解析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量 ， =（﹣1，0， ），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)，还要掌握向量语言表述面面的垂直、平行关系(若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证;要证，只需证，即证)的相关知识才是答题的关键．