Question

已知直线l₁：x+3y-5=0，l₂：3kx-y+1=0．若l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k=________．

Answer 1

±1
分析：由l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l₂的斜率
大于零时，根据l₁⊥l₂ ，由此求得k的值．当直线l₂的斜率小于零时，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC=
-tan∠ADC，由此又求得一个k值，综合可得结论．
解答：由题意知，l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．
由于直线l₁：x+3y-5=0是一条斜率等于-的固定直线，直线l₂：3kx-y+1=0经过定点A（0，1），
当直线l₂的斜率大于零时，应有l₁⊥l₂ ，∴3 k×（-）=-1，解得 k=1．
当直线l₂的斜率小于零时，如图所示：设直线l₁与y轴的交点为B，与x轴的交点为C，l₂ 与x轴的交点为D，
要使四边形ABCD是圆内接四边形，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC=-tan∠ADC．
再由tan（90°+∠ABC）=K_BC=-，可得tan∠ABC=3，∴tan∠ADC=-3=K_AD=3k，解得 k=-1．
综上可得，k=1或 k=-1，
故答案为：±1．

点评：本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于180°的四边形一定有外接圆，
属于基础题．