Question

在某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列；若插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，求证：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

Answer 1

【答案】分析：根据某两个正数x，y之间，若插入一个正数a，使x，a，y成等比数列，得到，在根据插入两个正数b，c，使x，b，c，y成等差数列，得到b=，c=，从而将原不等式转化为关于x，y的关系式，再利用基本不等式即可
解答：解：∵x，a，y成等比数列
∴a²=xy
∵a＞1
∴
∵x，b，c，y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=，c=
∴（b+1）（c+1）=（）=
∵x＞0，y＞0
∴≥=（a+1）²
即：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．
点评：本题考查了基本不等式，等差数列与等比数列的综合，属于基础题．