Question

（2009•日照一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设

m

=(sinA，1)，

n

=(-1，1)，求

m

•

n

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，根据sinA不为0，求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，根据B的度数，得出A的范围，利用正弦函数的单调性即可求出所求式子的最小值．

解答：解：（I）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（II）∵

m

=（sinA，1），

n

=（-1，1），
∴

m

•

n

=-sinA+1，
由B=

π

3

得：A∈（0，

2π

3

），
则当A=

π

2

时，

m

•

n

取得最小值0．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．