Question

设函数f（x）=cos（

πx

4

-

π

3

）-cos

πx

4

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数y=f（-2-x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用三角函数的有关公式，把f（x）转化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函数y=Acos（ωx+φ）+B）的形式，再由公式T=

2π

|w|

即可求得最小正周期．
（Ⅱ）先由（Ⅰ）表示出函数f（-2-x），再把它转化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函数y=Acos（ωx+φ）+B）的形式，最后由正弦函数（或余弦函数）的值域求出函数f（-2-x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（

πx

4

-

π

3

）-cos

πx

4

=cos

πx

4

cos

π

3

+sin

πx

4

sin

π

3

-cos

πx

4

=

1

2

cos

πx

4

+

3

2

sin

πx

4

-cos

πx

4

=

3

2

sin

πx

4

-

1

2

cos

πx

4

=sin（

π

4

x-

π

6

）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

π 4

=8．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知  y=f（-2-x）=sin[

π

4

（-2-x）-

π

6

]
=sin（-

π

2

-

π

4

x-

π

6

）=-cos（

π

4

x+

π

6

）
∵0≤x≤2，∴

π

6

≤

π

4

x+

π

6

≤

2π

3

∴-

1

2

≤cos（

π

4

x+

π

6

）≤

3

2

∴-

3

2

≤-cos（

π

4

x+

π

6

）≤

1

2

故函数y=f（-2-x）在[0，2]上的值域为[-

3

2

，

1

2

]．

点评：三角函数问题的解决：一般要把原函数转化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函数y=Acos（ωx+φ）+B）的形式，再利用正弦函数（或余弦函数）的性质解决．