Question

用单调性定义证明函数f(x)=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：任取区间[1，+∞）上两个实数a，b，且a＜b，判断f（a）-f（b）的符号，进而得到f（a），f（b）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．

解答：证明：任取区间[1，+∞）上两个实数a，b，且a＜b
则a-b＜0，ab＞1，ab-1＞0
则f（a）-f（b）=（a+

1

a

）-（b+

1

b

）
=a-b+

1

a

-

1

b

=a-b+

b-a

ab

=（a-b）（1-

1

ab

）=

(a-b)(ab-1)

ab

＜0
即f（a）＜f（b）
故函数f(x)=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．