Question

12．已知圆C过点M（0，-$\frac{1}{2}$），且与直线l：y=$\frac{1}{2}$相切．
（I）求圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）设轨迹与过点N（0，-1）的直线m相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （I）设出动圆圆心的坐标，根据题意可知圆心到定点（0，-$\frac{1}{2}$）到直线y=$\frac{1}{2}$的距离都等于半径，进而利用抛物线的定义可求得x和y的关系式．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线的方程联立得到根与系数关系，再利用斜率计算公式及OA和OB的斜率之和为1．即可得出k．

解答 解：（I）设动圆圆心坐标为（x，y）
∵圆C过点M（0，-$\frac{1}{2}$），且与直线l：y=$\frac{1}{2}$相切，
∴圆心到定点（0，-$\frac{1}{2}$）及到直线y=$\frac{1}{2}$的距离都等于半径，
∴根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x²=-2y；
（Ⅱ）显然直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=-2y}\end{array}\right.$得x²+2kx-2=0，
∴x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2．
∵$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{k{x}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}-1}{{x}_{2}}$=2k-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k-$\frac{-2k}{-2}$=1，解得k=1
所以直线l的方程为y=x-1．

点评 本题考查轨迹方程，利用抛物线的定义来求轨迹方程、熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式是关键．