Question

（2013•河东区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

5 2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-

1

2

，求斜率k的值；
②已知点M(-

7

3

，0)，求证：

MA

•

MB

为定值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为-

1

2

，即可求斜率k的值；
②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．

解答：（1）解：因为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)满足a²=b²+c²，

c

a

=

6

3

，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

5 2

3

，可得

1

2

×b×2c=

5 2

3

．
从而可解得a2=5，b2=

5

3

，
所以椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1…（4分）
（2）证明：①将y=k（x+1）代入

x2

5

+

y2

5 3

=1中，消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（6分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，x1+x2=-

6k2

3k2+1

…（7分）
因为AB中点的横坐标为-

1

2

，所以-

3k2

3k2+1

=-

1

2

，解得k=±

3

3

…（9分）
②由①知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

所以

MA

•

MB

=(x1+

7

3

，y1)(x2+

7

3

，y2)=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+y1y2…（11分）
=(x1+

7

3

)(x2+

7

3

)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(

7

3

+k2)(x1+x2)+

49

9

+k2…（12分）
=(1+k2)

3k2-5

3k2+1

+(

7

3

+k2)(-

6k2

3k2+1

)+

49

9

+k2=

-3k4-16k2-5

3k2+1

+

49

9

+k2=

4

9

…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．