Question

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（1）求

SC

与

OB

的夹角α的大小（用反三角函数表示）；
（2）设

n

=（1，p，q），满足

n

⊥平面SBC，求：
①

n

的坐标；
②OA与平面SBC的夹角β（用反三角函数表示）；
③O到平面SBC的距离．
（3）设

k

=(1，r，s)满足

k

⊥

SC

且

k

⊥

OB

．填写：
①

k

的坐标为

 

．
②异面直线SC、OB的距离为

 

．（注：（3）只要求写出答案）

Answer 1

分析：（I）根据已知中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，我们求出各顶点的坐标，进而求出向量

SC

与

OB

的坐标，代入向量夹角公式，即可得到结论．
（II）①由已知中得向量

n

=（1，p，q）为平面SBC的法向量，根据法向量根平面内任一个向量均垂直，数量积均为0，构造方程组，即可求出

n

的坐标；②A与平面SBC的夹角β与OA的方向向量与

n

的夹角互余，求出OA的方向向量，代入即可得到结论；
（III）①根据两向量垂直数量积为0，构造关于r，s的方程组，解方程组求出r，s，代入即可求出

k

的坐标；②由（I）中直线SC、OB的夹角，结合四面体S-OBC的体积，根据V=

1

6

•SC•OB•sinθ•d，（其中θ为两条异面直线夹角，d为两条异面直线的夹角），即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）如图所示：
C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）
∴

SC

=(2，0，-1)，

OB

=(1，1，0)
∴cos＜

SC

，

OB

＞=

2

5 • 2

=

10

5

，α=arccos

10

5

（4分）
（Ⅱ）①

SB

=(1，1，-1)，

CB

=(-1，1，0)∵

n

⊥SBC∴

n

⊥

SB

，

n

⊥

CB

，∴

n

•

SB

=1+p-q=0

n

•

CB

=-1+p=0，解得：p=1，q=2，∴

n

=(1，1，2)（7分）
②过O作OE⊥BC于E，则BC⊥面SOE，∴SOE⊥SAB又两面交于SE，过O作OH⊥SE于H，则OH⊥SBC，延长OA与CB交于F，则OF=2
连FH，则∠OFH为所求
又OE=

2

，∴SE=

3

∴OH=

SO•OE

SE

=

1• 2

3

=

6

3

，
∴sinβ=

6 3

2

=

6

6

∴β=arcsin

6

6

(10分)
③由题设条件可得∠OBC是直角，可得出CB⊥面SOB，故CB⊥SB
又在直角三角形SOB内，可求得SB=

3

，在梯形OABC内，可求得BC=

2

，于是可得S△SBC=

6

2

又由题设条件得VS-OBC=

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

故由等体积法可得点O到面SBC的距离为

1 3

1 3 × 6 2

=

6

3

，
（III）

k

的坐标为（1，-1，2）；OH=

6

3

（14分）．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求直线间夹角、距离，其中熟练掌握两个向量垂直，数量积为0，及向量夹角公式是解答本题的关键．