Question

已知正四棱锥的各条棱都是a．

(1)求底面一边到相对侧面的距离；

(2)求证：相邻两侧面所成二面角等于侧面和底面所成二面角的2倍；

(3)求相对两侧面所成二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：作PO⊥底面ABCD，垂足是O，取BC、AD、PB的中点F、E、M，连结PE、PF、EF、OM、MC、MA． 　　∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，AD到平面PBC的距离就是E点到平面PBC的距离，∵BC⊥平面PEF，∴平面PEF⊥平面PBC．∴E点到交线PF的距离就是E点到平面PBC的距离d． 　　∴d·PF＝PO·EF，d·a＝a·，∴d＝a． 　　(2)在ΔACM中，∵AM＝MC＝a，AD＝OC，∴OM是∠AMC的平分线，又AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC是二面角A－PB－C的平面角，∠OFP是二面角P－BC－AD的平面角． 　　又∵AO＝PO＝a，AM＝PF＝a，∴RtΔPOF≌RtΔAMO． 　　∴∠AMC＝2∠PFO，∴命题成立． 　　(3)设相对两侧面PBC、PAD的交线是l，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴AD∥l，∵BC⊥平面PEF，∴l⊥平面PEF，∴∠EPF就是所求二面角的平面角． 　　∴cos∠EPF＝＝．