Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n≠0，S_n为该数列的前n项和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_3n＞$\frac{a}{24}$对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系进行化简，构造等差数列进行求解即可．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1，假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式也成立，即可证明结果．

解答 解：（1）∵${s_{n+1}}={a_n}（1-{a_{n+1}}）+{s_n}，n∈{N^*}$，
∴s_n+1-s_n=a_n（1-a_n+1）∴a_n+1=a_n（1-a_n+1）=a_n-a_na_n+1，
∴a_n-a_n+1=a_na_n+1，
又a_n≠0∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=1$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$构成以2为首项，以1为公差的等差数列
．$\frac{1}{a_n}=2+（n-1）×1=n+1$，
${a_n}=\frac{1}{n+1}，n∈{N^*}$
（2）当n=1时，$\frac{1}{1+1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{3+1}＞\frac{a}{24}$，即$\frac{26}{24}＞\frac{a}{24}$，所以a＜26．
而a是正整数，所以取a=25，
下面用数学归纳法证明：$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}＞\frac{25}{24}$．
（1）当n=1时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{3k+1}＞\frac{25}{24}$．
则当n=k+1时，有$\frac{1}{（k+1）+1}+\frac{1}{（k+1）+2}+…+\frac{1}{3（k+1）+1}$
=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}$

$＞\frac{25}{24}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}-\frac{2}{3（k+1）}$．                              
因为$\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}=\frac{6（k+1）}{9{k}^{2}+18k+8}＞\frac{2}{3（k+1）}$，
所以$\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}-\frac{2}{3（k+1）}＞0$．
所以当n=k+1时不等式也成立．                 
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n+1}＞\frac{25}{24}$；
故a的最大值为25．

点评 本题考查数学通项公式的求解，以及递推数列的应用，在利用数学归纳法证明等式的步骤中，注意证明n=k+1时必须用上假设，注意证明的方法，考查计算能力．