解:(1)令a=b=0,f(0)=0
令a=x,b=-x
∴f(x)+f(-x)=f(0)
∴f(x)为奇函数
令a+b=x
1,b=x
2且x
1>x
2
f(x
1)-f(x
2)=f(x
1-x
2)>0
∴是增函数
(2)由(1)知是增函数
所以,当x=-2时取得取小值-3;当x=4时取得最大值f(4)=2f(2)=6
(3)由题意:当
时,f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有θ都成立
可转化为:2(cosθ)
2-2mcosθ+4m-4>0,当
时恒成立
令t=cosθ∈[0,1]则转化为:2t
2-2mt+4m-4>0,t∈[0,1]恒成立
令g(t)=2t
2-2mt+4m-4
解得:m>4+2
分析:(1)先看奇偶性,用赋值法,先令实数a,b都为零,求得f(0),再令实数a=x,b=-x探讨f(-x),f(x)关系.再看单调性,a+b=x
1,b=x
2且x
1>x
2再有f(a)+f(b)=f(a+b).构造单调性定义模型,即f(x
1)-f(x
2)=f(x
1-x
2)判断即可.
(2)由(1)的单调性结论求解,若为增函数,则-2,4分别对应最小值,最大值.若为减函数,则-2,4分别对应最大值,最小值.
(3)将“f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0”利用主条件转化为:f(cos2θ-3+4m-2mcosθ)>f(0),再利用单调性转化为“cos2θ-3+4m-2mcosθ<0,恒成立”求解.
点评:本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断及其应用,在解决过程中,赋值法是常用的方法,严格落实主条件转化问题是关键.