Question

18.设a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x＞0）.

（Ⅰ）令F（x）＝x，讨论F（x）在（0,＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x－2a ln x＋1.

Answer 1

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力。

（Ⅰ）解：根据求导法则得，x＞0.

故F(x)=xf′(x)=x-2lnx+2a,x＞0,

于是，x＞0.

列表如下：

x	(0,2)	2	(2,+∞)
F′(x)	-	0	+
F(x)	↘	极小值F(2)	↗

故知F(x)在(0,2)内是减函数，在(2,+∞)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F(2)=2-2ln2+2a.

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)=2-2ln2+2a＞0.

于是由上表知，对一切，恒有F(x)=xf′(x)＞0.

从而当x＞0时，恒有f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)内单调增加。

所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0,即x-1-ln²x+2alnx＞0,

故当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1.