Question

设f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）满足f（-x）=-f（x），且在[1，+∞）上单调递增．若有f（1）=2，f（2）＜3成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）用定义证明f（x在（-1，0））上是减函数．

Answer 1

分析：（1）利用f（-x）=-f（x），求出c的值，利用f（1）=2，f（2）＜3，即可求得b，c的值；
（2）利用单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论的方法，即可证明．

解答：（1）解：∵f（-x）=-f（x），
∴

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

∴bx+c=bx-c，∴c=0
∵f（1）=2，∴a+1=2b
∴a=2b-1
∵f（2）＜3
∴

4a+1

2b

＜3
若b＞0，则4a+1＜6b
将a=2b-1代入，可得2b＜3，∴b＜

3

2

∵a，b∈Z，∴b=1，a=1
若b＜0，则b＞

3

2

，不成立
∴a=1，b=1，c=0
（2）证明：由（1）知，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

设-1＜x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＜0
∴(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x在（-1，0））上是减函数．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．