Question

定理：若函数f（x）在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f（m）f（n）＜0，则存在唯一一个x∈（m，n）使f（x）=0．已知．
（1）若是减函数，求a的取值范围．
（2）是否存在同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数g（x）求导可达g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a，依题意由g（x）在[0，]单调递减可得上恒成立即a≥-cos（cosx）sinx，可求a的取值范围
（2）由（1）知：当a=1时，上是减函数且，根据零点判定定理可得存在唯一，同理知存在即cosf（d）=d成立，从而可证
解答：解：（1）∵g（x）=sin（cosx）-ax∴g'（x）=cos（cosx）•（-sinx）-a
依题意恒成立
即a≥-cos（cosx）sinx
显然-cos（cosx）sinx≤0∴a≥0，故a的取值范围是a≥0…（6分）
（2）由（1）知：当a=1时，上是减函数
且
∴存在唯一…（8分）
同理由上是减函数
且
知存在
即cosf（d）=d成立…（10分）
由cosf（d）=d得f[cos（f（d））]=f（d）
及f（cosc）=c的唯一性知c=f（d），即c=sind
综上可知，存在c，d使f（cosc）=c和cos[f（d）]=d同时成立，且c=sind…（13分）
点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将单调性问题转化为恒成立问题，另外还要具备综合应用所学知识解决问题的能力．