Question

观察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=

3

4

，
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

3

4

，
sin245°+cos2105°-sin45°cos105°=

3

4

．
分析上述各式的共同特点，请写出一个能反映一般规律的等式

sin2α+cos2β+sinαcosβ=

3

4

，其中β=α+30°

．

Answer 1

分析：观察所给的等式，等号左边是sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

…规律应该是sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α），右边的式子：

3

4

，写出结果．

解答：观察以下各等式：
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=

3

4

，
sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

3

4

，
sin245°+cos2105°-sin45°cos105°=

3

4

．
分析上述各式的共同特点，左边是二项的正弦和余弦的平方和加上正弦与余弦的积，其中一个角等于另一个加上30°，右边都是

3

4

．
从而写出一个能反映一般规律的等式 sin2α+cos2β+sinαcosβ=

3

4

，其中β=α+30°，
故答案为：sin2α+cos2β+sinαcosβ=

3

4

，其中β=α+30°．

点评：本题考查归纳推理，考查观察、分析、归纳的能力，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．