Question

下面的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为

1

n

（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如

1

1

=

1

2

+

1

2

，

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

，…，则第10行第3个数（从左往右数）为

1

360

．
       

1

1

      

1

2

 

1

2

    

1

3

 

1

6

 

1

3

 

1

4

 

1

12

 

1

12

 

1

4

1

5

 

1

20

 

1

30

 

1

20

 

1

5

…

Answer 1

分析：根据题意，分析可得将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数

1

(n+1 )C r n

，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，进而可得第10行第3个数．

解答：解：将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数

1

(n+1 )C r n

，就得到一个莱布尼兹三角形，
而杨晖三角形中第10行第3个数字是C_10-1²=36，
则“莱布尼兹调和三角形”第10行第3个数字是

1

10×36

=

1

360

；
故答案为

1

360

．

点评：本题考查归纳推理的应用，关键是从杨辉三角的角度分析，得到杨辉三角与莱布尼兹调和三角形的联系．