Question

已知D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，∠ABC=β．且AC=

3

DC，则β=

π

3

．

Answer 1

分析：根据正弦定理可求得sinβ=

3

sinα，通过三角形是直角三角形，推出sinα+cos2β=0，即可求解sinβ，进而求得β的值．

解答：解：如图，设∠CAD=α，△ADC中，由正弦定理

DC

sinα

=

AC

sin(π-β)

，
即

DC

sinα

=

AC

sinβ

，则sinβ=

3

sinα
∵α=

π

2

-∠BAD=

π

2

-（π-2β）=2β-

π

2

得sinβ=-

3

cos2β=-

3

（1-2sin^₂β）
∴sinα=sin（2β-

π

2

）=-cos2β，
即sinα+cos2β=0
即2

3

sin^₂β-sinβ-

3

=0
解得sinβ=

3

2

或sinβ=-

3

3

∵0＜β＜

π

2

∴sinβ=

3

2

∴β=

π

3

，
故答案为：

π

3

点评：本题主要考查了诱导公式化简求值，正弦定理．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．