Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都相等，A₁在底面ABC的射影是AC的中点，则BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的正切值等于________．

Answer 1

分析：根据已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都相等，A₁在底面ABC的射影是AC的中点，我们不妨令AC的中点为D，我们根据等边三角形“三线合一”的性质结合D为A₁在底面ABC的射影得到BD⊥平面ACC₁A₁，则∠BC₁D即为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角，解△BC₁D即可得到BC₁与侧面ACC₁A₁所成角的正切值．
解答：设AC的中点为D，由已知中A₁在底面ABC的射影是AC的中点，
连接A₁D，C₁D，BD，则A₁D⊥底面ABC，
∵BD?平面ABC，∴A₁D⊥BD…①
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都相等，
故三角形ABC为等边三角形，则BD⊥AC，…②
由于A₁D∩AC=D
∴BD⊥平面ACC₁A₁，则∠BC₁D即为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角
又设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都为a
则BD=，C₁D=
∴tan∠BC₁D==
故答案为：．
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中根据已知条件，求出∠BC₁D即为BC₁与侧面ACC₁A₁所成角，是解答本题的关键．