Question

已知x＞1，求证：x＞ln（1+x）.

Answer 1

证明：设f（x）=x－ln（1+x），

∵f′（x）=1－=，x＞1，

∴f′（x）＞0.∴f（x）在（1，+∞）上是增函数.

又f（1）=1－ln2＞1－lne=0，即f（1）＞0，

∴f（x）＞0，即x＞ln（1+x）（x＞1）.

点评：（1）构造函数，借助导数确定单调性，这种证明不等式的方法经常使用，它是作差法的一个延伸.

（2）f（1）≥0是判断大小的重要依据，它的证明是本题的一个难点.