已知椭圆C:的长轴长为4.(1)若以原点为圆心.椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切.求椭圆C的焦点坐标,(2)若点P是椭圆C上的任意一点.过原点的直线l与椭圆相交于M.N两点.记直线PM.PN的斜率分别为kPM.kPN.当kPM·kPN=-时.求椭圆的方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆C：

（a>b>0）的长轴长为4。
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆C的焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM、k_PN，当k_PM·k_PN=-

时，求椭圆的方程。

解：（1）由

得

又2a=4，
∴a=2，a²=4，b²=2，c²=a²-b²=2，
∴两个焦点坐标为（

，0），（-

，0）。
（2）由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有

两式相减得：

由题意可知直线PM、PN的斜率存在
则

则

由a=2得b=1，
故所求椭圆的方程为

。

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