Question

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．

解答：证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为

x

b

+

y

a

=1，其斜率为-

a

b

，AC的方程为

x

c

+

y

a

=1，其斜率为-

a

c

，高线CE的方程为y=

b

a

(x-c)(1)高线BD的方程为y=

c

a

(x-b)(2)．

解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．
因此，三条高线交于一点．

点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为-1、考查两直线的交点坐标的求法．