Question

f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2015

2015

，设函数h（x）=f（x+3）•g（x-4），若函数h（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先判断零点可能所在的区间、个数，因此需要研究函数的单调性，所以先对两个函数求导，研究单调性，又因为是研究函数f（x+3）•g（x-4）的零点，因此只需研究f（x+3）与g（x-4）的零点即可，再结合图象平移变换的知识，可将问题解决．

解答： 解：由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2014=

1-(-x)2015

1-(-x)

=

1+x2015

1+x

可得：
当x＞0时，有f'（x）＞0；当x＜0时，有f'（x）＞0；且f（0）=1．
所以当x＞0时，有f（x）≥1＞0；
当x＜0时，有y=f（x）单调递增，
又f(-1)=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

2015

＜0，所以在（-1，0）上函数y=f（x）有且只有一个零点，即f（x+3）在（-4，-3）上有且只有一个零点．
同理，由g′(x)=-1+x-x2+x3-…-x2014=-[f′(x)]=-

1+x2015

1+x

可得：
当x＞0时，有g'（x）＜0；当x＜0时，有g'（x）＜0；且g（0）=1．
所以当x＜0时，有g（x）≥1＞0；
当x＞0时，有y=g（x）单调递减，
又g(1)=1-1+

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2015

＞0，

g(2)=1-2+ 22 2 - 23 3 + 24 4 -…- 22015 2015 =-1+22( 1 2 - 2 3 )+24( 1 4 - 2 5 )+…+22014( 1 2014 - 2 2015 )＜0

，
所以在（1，2）上函数g（x）有且只有一个零点，即g（x-4）在（5，6）上函数有且只有一个零点．
由于函数h（x）=f（x+3）•g（x-4）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，所以b≥6，a≤-4，即b-a≥10，
所以b-a的最小值为10．

点评：本题综合考查了利用函数思想来研究函数零点的问题的一般思路，属于中档题．