Question

【题目】数列{an}中， ． （Ⅰ）求a1 ， a2 ， a3 ， a4；
（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，∴ ，即a1=1， ∵ ，即a1+a2=4﹣a2﹣1，∴a2=1，
∵ ，即a1+a2+a3=4﹣a3﹣ ，∴a3= ，
∵ ，即a1+a2+a3+a4=4﹣a4﹣ ，∴a3= ，
（Ⅱ）猜想
证明如下：①当n=1时，a1=1，此时结论成立；
②假设当n=k（k∈N*）结论成立，即 ，
那么当n=k+1时，有
∵
∴ ，
这就是说n=k+1时结论也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N*时 ．
【解析】（1）由 ．我们依次将n=1，2，3，4…代入，可以求出a1 ， a2 ， a3 ， a4；（2）观察（1）的结论，我们可以推断出an的表达式，然后由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数学归纳法的定义的理解，了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．