Question

已知点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点P满足|PF1|+|PF2|=2

3

．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与轨迹C交于A、B两点，且

OA

•

OB

=0（其中O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意：|PF₁|+|PF₂|=2

3

＞|F₁F₂|，根据椭圆的定义即可求出点P的轨迹C的方程；
（2）将直线l方程与椭圆C联解消去y，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算公式，建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．

解答：解：（1）∵点F₁（-1，0）、F₂（1，0），|PF₁|+|PF₂|=2

3

＞|F₁F₂|，
∴点P的轨迹C是以F₁、F₂为焦点且长轴2a=2

3

的椭圆，可得a=

3

，b=

a2-c2

=

2

因此，点P的轨迹C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）直线l：y=kx+2与

x2

3

+

y2

2

=1联列，消去y得：（3k²+2）x²+12kx+6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数关系可得
x₁+x₂=

-12k

3k2+2

，x₁x₂=

6

3k2+2

则y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

6k2

3k2+2

-

24k2

3k2+2

+4=

8-6k2

3k2+2

∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即

6

3k2+2

+

8-6k2

3k2+2

=0，解之得k=±

21

3

点评：本题给出直线与椭圆相交于A、B两点，在A、B对原点的张角为90度时，求直线的斜率k之值．着重考查了平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于基础题．