Question

长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB=a,BC=b,AA₁=c,且a＞b,求:

(1)下列异面直线之间的距离:AB与CC₁;AB与A₁C₁;AB与B₁C.

(2)异面直线D₁B与AC所成角的余弦值.

Answer 1

(1)解:BC为异面直线AB与CC₁的公垂线段,故AB与CC₁的距离为b.

    AA₁为异面直线AB与A₁C₁的公垂线段,故AB与A₁C₁的距离为c.过B作BE⊥B₁C,垂足为E,则BE为异面直线AB与B₁C的公垂线,BE==,即AB与B₁C的距离为.

(2)解法一:连结BD交AC于点O,取DD₁的中点F,连结OF、AF,则OF∥D₁B,∴∠AOF就是异面直线D₁B与AC所成的角.

    ∵AO=,OF=BD₁=,AF=,

    ∴在△AOF中,cos∠AOF==.

    解法二:如下图,在原长方体的右侧补上一个同样的长方体,连结BG、D₁G,则AC∥BG,

    ∴∠D₁BG(或其补角)为D₁B与AC所成的角.

    BD₁=,BG=,D₁G=,

    在△D₁BG中,cos∠D₁BG==-,

故所求的余弦值为.