Question

设关于x的不等式|x|+|x-1|＜a（a∈R）．若a=2，则不等式的解集为

 

；若不等式的解集为∅，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，将含有绝对值的不等式，通过分类讨论，转化为不含绝对值的不等式解，分类时按照小于等于0，（0，1）和大于等于1分三类，分别讨论，最后求出它们的并集即可；
（2）“不等式的解集为∅”问题转化成恒成立问题解决，即a要小于函数x|+|x-1|的最小值即可．

解答：解：a=2时，不等式|x|+|x-1|＜2化为

x≤0 -x+1-x＜2

或

0＜x＜1 x+1-x＜2

或

x≥1 x+x-1＜2

，
解得-

1

2

＜x≤0或0＜x＜1或1≤x＜

3

2

，
即-

1

2

＜x＜

3

2

，
故不等式的解集为(-

1

2

，

3

2

)；
因为|x|+|x-1|≥|x-（x-1）|=1，
所以若不等式|x|+|x-1|＜a的解集为∅，
则a的取值范围是a≤1．
故填：(-

1

2

，

3

2

)；（-∞，1]．

点评：本小题主要考查含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质．这类问题是高考选做题中的常规题，解题方法要熟练掌握．