Question

如图,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.

现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.

(1)经测算,从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/千米,那么修建这两条公路的总费用最低是(　　)

A. (+1)a万元

B. (2-2)a万元

C.2a万元

D. (-1)a万元

(2)经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别为a万元/千米、2a万元/千米,那么修建这两条公路的总费用最低是(　　)

A. (2-2)a万元

B.5a万元

C. (2+1)a万元

D. (2+3)a万元

Answer 1

解析:以AB的中点O为原点,AB为x轴建立直角坐标系,取A(-2,0),B(2,0),则C(3,3),?

(1)总费用为a(|MB+MC|)=a(|MA-2+MC|)≥a(|AC-2|)=a(2-2),

当M在AC上时取等号.?

答案: B

(2)因为|MA|-|MB|=2,所以曲线PQ是以A、B为焦点的双曲线的右支,其方程为x²-=1,实轴长为2,离心率为2,

因此=2(d表示M到右准线的距离).?

所以总费用为(|MB|+2|MC|)a=2a(|MB|+|MC|)=2a(d+|MC|),总费用最少,即d+|MC|最小,

最小值为C到右准线的距离x_c-=3-=.

故总费用为2a×=5a(万元).?

答案: B