Question

已知：

a

=(sinx+cosx，

3

(sinx-cosx))，

b

=(sinx+cosx，sinx+cosx)，函数f(x)=

a

•

b

（I）把f（x）化为Asin（?x+φ）+b的形式；
（II）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅲ）若f（α）=f（β），且α与β的终边不共线，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得根据两角差得正弦该生可得f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1．
（Ⅱ）由（I）可得结合正弦函数的周期性与单调区间可得函数的周期与单调区间．
（Ⅲ）由题意可得：α-β=kπ或α+β=kπ+

5π

6

，k∈Z，由α与β的终边不共线，可得α+β=kπ+

5π

6

，金额得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：
f(x)=(sinx+cosx)2+

3

(sin2x-cos2x)
=1+sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1…（4分）
（Ⅱ）T=π…（5分）
由正弦函数的单调区间可得：2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

所以单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．…（7分）
（Ⅲ）由2sin(2α-

π

3

)+1=2sin(2β-

π

3

)+1
得：2α-

π

3

=2β-

π

3

+2kπ或2α-

π

3

=2kπ+π-(2β-

π

3

)…（8分）
所以α-β=kπ或α+β=kπ+

5π

6

，k∈Z
因为α与β的终边不共线，所以α+β=kπ+

5π

6

当k为偶数时，sin(α+β)=

1

2

；当k为奇数时，sin(α+β)=-

1

2

．…（10分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握正弦函数的有关性质，以及平面向量的数量积运算．