Question

（04年重庆卷）（12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程

 

 

Answer 1

解析：解法一：由题意，直线AB不能是水平线，  故可设直线方程为：.

  

又设，则其坐标满足

      消去x得 

      由此得  

     

      因此.

      故O必在圆H的圆周上.

      又由题意圆心H（）是AB的中点，故

     

      由前已证，OH应是圆H的半径，且.

      从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.

      此时，直线AB的方程为：x=2p.

      解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p

      又设，则其坐标满足

   分别消去x，y得

      故得A、B所在圆的方程

      明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，

      又知A、B中点H的坐标为

      故

      而前面圆的方程可表示为

      故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

      又，

      故当k=0时，R²最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.

      解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

      又直径|AB|=

      上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.

      此时直线AB的方程为x=2p.